Finansiella tidsserier: stiliserade egenskaper

Flera saker komplicerar modelleringen av finansiella tidsserier. Dels finns det ett stort antal olika slags finansiella tidsserier, som aktier, valutakurser och räntor. Dels finns data på många olika intervaller, som intradags-, dags- och månadsdata. Det största problemet är dock de statistiska avvikelserna som är gemensamma för de flesta finansiella tidsserier.

I statistisk tidsserieanalys gör vi en rad antaganden som måste hålla för att konfidensintervallen skall vara pålitliga.

1. Förhållandet mellan den beroende och de oberoende variablerna är linjärt. Det innebär att det förväntade värdet av den beroende variabeln är en rätlinjig funktion av de oberoende variablerna. Lutningskoefficienten måste därmed vara konstant, så att den beroende variabelns känslighet för de oberoende variablerna är den samma för alla värden.
2. Feltermerna måste vara statistiskt oberoende av varandra. Det får inte förekomma autokorrelation mellan observationernas feltermer.
3. Konstant varians i feltermerna. Variansen måste vara homoskedastisk, så att den inte förändras för olika tidpunkter, förävante värden av den beroende variabeln, eller olika värden av de oberoende variablerna.
4. Feltermerna måste vara normalfördelade.

Om en tidsserie inte är stationär kommer antagandet om statistiskt oberoende feltermer inte hålla. Det finns tre grader av stationäritet: strikt stationäritet, andragradens stationäritet med en stark vitt-brus-process och andragradens statinäritet med en svag vitt-brus-process.

Om något av dessa kriterier inte möts av modellen så är väntevärdet, konfidensintervallen och de slutsatser som dras från modellen ineffektiva och möjligtvis missvisande. Finansiella tidsserier uppvisar en rad statistiska avvikelser från dessa antaganden som kan anses vara allmängiltiga. Dessa presenteras nedan tillsammans med data för FTSE 100 och Vodafone Group.

Icke-stationära prisserier

Finansiella prisserier följer vanligtvis en slumpvandring utan intercept. Detta beteende är synligt i graferna nedan. Strikt stationäritet uppnås därmed inte.

Oförutsägbara avkastningar

Icke-stationäritet åtgärdas vanligtvis genom att differentiera prisserierna. Avkasningar har vanligtvis ett genomsnitt nära noll. Avkastningsserier uppvisar vanligtvis ingen autokorrelation och är jämförbara med en vitt-brus-process. För att processen skall vara stationär i andra graden får det inte finnas autokovariansen i avkastningarna. Detta är synligt från de differentierade prisserierna nedan.

Volatilitetsklustring

Autkorrelationen i avkastningarna är inte signifikant. Konfidensintervallen indikeras av de blå streckade linjerna neda. De kvadrerade avkastningarna visar dock signifikant autokorrelation, vilket innebär att vitt-brus-processen i avkastningarna är svag.

I finansiella tidsserier tenderar hög absolut avkastning att ske i kluster. Det innebär att tider av hög volatilitet tenderar att följas av perioder av låg volatilitet. Detta mönster kan ses i grafen nedan. Perioder av hög volatilitet är återkommande men oförutsägbara. Klustringseffekten innebär därmed inte att tidsserien är inkompatibel med antagandet om homoskedasticitet i fördelnignen av avkastningar.

Feta svansar

Figuren nedan visar histogrammet, kernelestimatet (röd linje) och den gaussiska normalfördelningen (blå linje) för avkastningarna på FTSE 100 och Vodefone Group. Från figuren är det klart att avkastningarna inte är normalfördelade. Densiteterna har feta svansar, vilket innebäratt de avtar mot noll långasmmare än exp⁡(-x^2/2) och har en skarp topp vid noll. Leptokurtositet kan studeras med kurtosis-koefficienten, som mäter förhållandet mellan det fjärde momentet och den kvadrerade variansen i urvalet. En gaussisk tidsserie har en kurtosiskoefficient som är tre. Den är dock betydligt högre för avkasntingsdata. Kurtosiskoefficienten för FTSE 100 och Vodafone är 11,63 och 9,77 respektive.

Hävstångseffekten

Hävstångseffekten identifierades av Black (1976) och innebär att tidigare positiva och negativa värden har en asymmetrisk inverkan på volatiliteten. Tidigare negativa avkastningar tenderar  att ha en större positiv inverkan på volatiliteten än positiva avkastningar. Hävstångseffekten är betydligt starkare för index än för individuella aktier, men avtar snabbare. Som figurerna nedan visar, så är korrelationen mellan negativa avkastningar och absoluta avkastningar högre än korrelationen mellan positiva avkastningar och absoluta avkastningar. Korrelaionen för indexet FTSE 100 avtar dessutom snabbare än för Vodafone Group, i linje med den tidigare forskningen.



Utöver dessa generella egenskaper har flera studier identifierat följande anomalier

Kalenderanomalier

Kalendereffketer som veckodag och kommande helgdagar kan ha en signifikant inverkan på avkastningar. Efter en period då marknaden varit stängd tenderar volatiliteten att öka vilket reflekterar att information har ackumulerats under pausen.

Överdriven volatilitet

 Graden av förändring i aktiepriser är högre än vad som vore rimligt på basen av förändringar i de fundamentala ekonomiska variablerna som kan tänkas driva prisförändringar. Stora prisförändringar kan inte alltid förklarars med ankomsten av ny information.

Korrelation mellan handlad volym och volatilitet

Handlad volym är positivt korrelerad med volatiltiet. Figuren nedan visar korrelationen mellan variansen och den handlade volymen. Korrelationen är bertydligt högre för Vodafone Group, men den är signifikant även för FTSE 100.


 Dessutom uppvisar båda autokorrelation över långa tidsperioder. Se figuren nedan.

Källor 

GARCH Models: Structure, Statistical Inference and Financial Applications
Francq & Zakoïan (2010)

Volatility Clustering in Financial Markets: Empirical Facts and Agent–Based Models
Cont (2005)
http://www.proba.jussieu.fr/pageperso/ramacont/papers/clustering.pdf

Leverage Effect in Financial Markets: The Retarded Volatility model
Bouchaud, Matacz & Potters (2001)
http://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.87.228701

Tester i R
https://github.com/321k/Thesis/blob/master/Stilized%20facts%20of%20financial%20time%20series